En étudiant le taux de variation en $0$ à gauche et à droite

Prouver qu'une fonction n'est pas dérivable en un point en exhibant deux demi-tangentes distinctes.

L'objectif

Prouver qu'une fonction n'est pas dérivable en un point en exhibant deux demi-tangentes distinctes.

Le principe

Une fonction est dérivable en $a$ si et seulement si $\lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}$ existe ; si les limites à gauche et à droite diffèrent, la fonction n'est pas dérivable en $a$ .

La méthode

1
J'écris la fonction par morceaux : $|x| = x$ si $x \geq 0$ et $|x| = -x$ si $x < 0$ .
2
Je calcule le taux de variation $\frac{f(0+h) - f(0)}{h} = \frac{|h|}{h}$ pour $h > 0$ (limite $= 1$ ) et pour $h < 0$ (limite $= -1$ ).
3
Je conclus : les deux limites sont distinctes ( $1 \neq -1$ ), donc $f$ n'est pas dérivable en $0$ . Graphiquement, la courbe présente un point anguleux.

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Exercice d'exemple

Montrer que la fonction $f(x) = |x|$ n'est pas dérivable en $0$ .

Étape 1 —

J'écris la fonction par morceaux :

|x| = x

x \geq 0

|x| = -x

x < 0

On écrit : $f(x) = x$ si $x \geq 0$ et $f(x) = -x$ si $x < 0$ .

Étape 2 —

Je calcule le taux de variation

\frac{f(0+h) - f(0)}{h} = \frac{|h|}{h}

pour

h > 0

(limite

= 1

) et pour

h < 0

(limite

= -1

Pour $h > 0$ : $\frac{f(0+h) - f(0)}{h} = \frac{h}{h} = 1 \to 1$ . Pour $h < 0$ : $\frac{f(0+h) - f(0)}{h} = \frac{-h}{h} = -1 \to -1$ .

Étape 3 —

Je conclus : les deux limites sont distinctes (

1 \neq -1

), donc

f

n'est pas dérivable en

0

. Graphiquement, la courbe présente un point anguleux.

Les limites à gauche ( $-1$ ) et à droite ( $1$ ) sont différentes, donc $f$ n'est pas dérivable en $0$ . La courbe a un point anguleux en $O$ .

$f$ n'est pas dérivable en $0$ car les limites à gauche et à droite du taux de variation sont distinctes ( $-1 \neq 1$ ).

Application guidée

Montrer que la fonction $f(x) = |x - 2|$ n'est pas dérivable en $2$ .

Application autonome 1

La fonction $f(x) = |2x + 1|$ est-elle dérivable en $-\frac{1}{2}$ ?

Application autonome 2

Montrer que la fonction $f(x) = |3 - x|$ n'est pas dérivable en $x = 3$ .

Application autonome 3

La fonction $g(x) = x + |x|$ est-elle dérivable en $0$ ?

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En étudiant le taux de variation en 000 à gauche et à droite

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