En dérivant terme à terme un polynôme

Dériver rapidement une fonction polynôme complète.

L'objectif

Dériver rapidement une fonction polynôme complète.

Le principe

Un polynôme est une somme de monômes $a_k x^k$ ; on dérive chaque monôme par $(a_k x^k)' = k a_k x^{k-1}$ et on somme.

La méthode

1
J'écris le polynôme sous forme développée et ordonnée : $f(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_1 x + a_0$ .
2
Je dérive chaque monôme : $(a_k x^k)' = k a_k x^{k-1}$ , et la constante $a_0$ donne $0$ .
3
Je somme les dérivées et je simplifie l'expression obtenue.

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Calculer la dérivée de $f(x) = 2x^3 - 5x^2 + 3x - 1$ .

Étape 1 —

J'écris le polynôme sous forme développée et ordonnée :

f(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_1 x + a_0

Le polynôme est déjà ordonné : $f(x) = 2x^3 - 5x^2 + 3x - 1$ .

Étape 2 —

Je dérive chaque monôme :

(a_k x^k)' = k a_k x^{k-1}

, et la constante

a_0

donne

0

On dérive chaque monôme : $(2x^3)' = 6x^2$ , $(-5x^2)' = -10x$ , $(3x)' = 3$ , $(-1)' = 0$ .

Étape 3 —

Je somme les dérivées et je simplifie l'expression obtenue.

On somme : $f'(x) = 6x^2 - 10x + 3$ .

$f'(x) = 6x^2 - 10x + 3$

Application guidée

Calculer la dérivée de $f(x) = x^5 - 4x^3 + 2$ .

Application autonome 1

Calculer la dérivée de $f(x) = -3x^4 + x^2 - 7x + 10$ .

Application autonome 2

Calculer la dérivée de $f(x) = \dfrac{1}{3}x^3 - \dfrac{1}{2}x^2 + 4x - 9$ .

Application autonome 3

Calculer la dérivée de $f(x) = 4x^6 - 2x^5 + 3x^2 - 8$ .

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