En appliquant $(1/v)' = -v'/v^2$

Calculer la dérivée de $\frac{1}{v}$ ou $\frac{k}{v}$ où $k$ est une constante.

L'objectif

Calculer la dérivée de $\frac{1}{v}$ ou $\frac{k}{v}$ où $k$ est une constante.

Le principe

Si $v$ est dérivable et ne s'annule pas, alors $\left(\frac{1}{v}\right)' = -\frac{v'}{v^2}$ .

La méthode

1
J'identifie la fonction $v$ au dénominateur et je vérifie qu'elle ne s'annule pas sur le domaine considéré.
2
Je calcule $v'$ .
3
J'applique $\left(\frac{1}{v}\right)' = -\frac{v'}{v^2}$ (et je multiplie par la constante $k$ si le numérateur est $k$ ), puis je simplifie.

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Exercice d'exemple

Calculer la dérivée de $f(x) = \frac{1}{x^2 + 1}$ .

Étape 1 —

J'identifie la fonction

v

au dénominateur et je vérifie qu'elle ne s'annule pas sur le domaine considéré.

On pose $v(x) = x^2 + 1$ . Cette fonction ne s'annule jamais car $x^2 + 1 \geq 1 > 0$ .

Étape 2 —

Je calcule

v'

On calcule $v'(x) = 2x$ .

Étape 3 —

J'applique

\left(\frac{1}{v}\right)' = -\frac{v'}{v^2}

(et je multiplie par la constante

k

si le numérateur est

k

), puis je simplifie.

On applique : $f'(x) = -\frac{2x}{(x^2 + 1)^2}$ .

$f'(x) = -\frac{2x}{(x^2 + 1)^2}$

Application guidée

Calculer la dérivée de $f(x) = \frac{3}{2x - 1}$ sur $\left]\frac{1}{2}\,;+\infty\right[$ .

Application autonome 1

Calculer la dérivée de $f(x) = \frac{1}{x^3}$ sur $]0\,;+\infty[$ .

Application autonome 2

Calculer la dérivée de $f(x) = \dfrac{5}{4x^2 + 3}$ sur $\mathbb{R}$ .

Application autonome 3

Calculer la dérivée de $f(x) = \dfrac{2}{\sqrt{x}}$ sur $]0\,;+\infty[$ .

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