En décomposant l'expression et en appliquant les règles successivement

Dériver une expression complexe en combinant plusieurs règles de dérivation.

L'objectif

Dériver une expression complexe en combinant plusieurs règles de dérivation.

Le principe

On identifie l'opération principale (la dernière effectuée lors du calcul de $f(x)$ ) et on applique la règle correspondante, en dérivant récursivement les sous-expressions.

La méthode

1
J'identifie l'opération principale de l'expression (somme, produit, quotient ou composée).
2
J'applique la règle de dérivation associée à cette opération principale.
3
Je dérive les sous-expressions internes en utilisant les règles adaptées (somme, produit, composée...).
4
Je développe, réduis et simplifie l'expression finale.

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Calculer la dérivée de $f(x) = (2x + 1)^3(x - 4)$ .

Étape 1 —

J'identifie l'opération principale de l'expression (somme, produit, quotient ou composée).

L'opération principale est un produit : $u(x) = (2x+1)^3$ et $v(x) = x - 4$ .

Étape 2 —

J'applique la règle de dérivation associée à cette opération principale.

On applique $(uv)' = u'v + uv'$ .

Étape 3 —

Je dérive les sous-expressions internes en utilisant les règles adaptées (somme, produit, composée...).

On dérive $u$ par composée : $u'(x) = 2 \times 3(2x+1)^2 = 6(2x+1)^2$ , et $v'(x) = 1$ .

Étape 4 —

Je développe, réduis et simplifie l'expression finale.

$f'(x) = 6(2x+1)^2(x-4) + (2x+1)^3 = (2x+1)^2[6(x-4) + (2x+1)] = (2x+1)^2(8x - 23)$ .

$f'(x) = (2x+1)^2(8x - 23)$

Application guidée

Calculer la dérivée de $f(x) = \frac{(3x-2)^2}{x+1}$ sur $]-1\,;+\infty[$ .

Application autonome 1

Calculer la dérivée de $f(x) = x^2(3x - 1)^4$ sur $\mathbb{R}$ .

Application autonome 2

Calculer la dérivée de $f(x) = \frac{x}{(2x+1)^2}$ sur $\left]-\frac{1}{2}\,;+\infty\right[$ .

Application autonome 3

Calculer la dérivée de $f(x) = (x^2 + 1)\sqrt{x}$ sur $]0\,;+\infty[$ .

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